Acervo textual da Revista AstroNova
Edição 33 — páginas 1 a 20
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Assuntos identificados: impressão, temperatura, sistema, superfície, escala, temperaturas, camada, modelo, matemática, assim.
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2 EXPEDIENTE Conselho editorial: Adriane Casteleira [email protected] Maico A. Zorzan [email protected] Rafael Cândido Jr. [email protected] Redatores desta edição: Rafael Cândido Jr. Maico Zorzan Adriane Casteleira Ricardo Francisco Pereira Arte e Diagramação: Adriane Casteleira Equipe da Revista AstroNova Maico Zorzan Rafael Cândido Jr. Adriane Casteleira João Pimenta Luiz Otávio Nacamura Mateus Leal Castanheira Ricardo Francisco Pereira Capa: Planeta Saturno imagem do arquivo do Telescópio Espacial Hubble, processada por Adriane Casteleira. Maico ZorzanMaico Zorzan Revista AstroNovaRevista AstroNova EDITORIALEDITORIAL Em época tão conturbada da história, onde ideologias e crenças deixam de ser discu- tidas no campo das ideias e passam a ser enfrentadas aos braços de exércitos, nos damos conta do quanto a ci- ência é importante que a nos- sa espécie se afaste da bar- bárie. A ciência é a única de- monstração do quanto so- mos iguais, enquanto espé- cie. Mesmo que muitas fon- tes desenvolvidas pelo ego, ganância e poder diga o con- trário, a ciência prova-nos o quanto somos iguais, indife- rentes de quais linhas imagi- nárias que nós mesmos pos- samos criar para dividir a nós mesmos. Somos capazes de codi- ficar línguas universais co- mo a linguagem matemática e seus símbolos, capazes de enxergar tão longe pelos olhos da astronomia, tão pe- queno pelos olhos da física quântica e de partículas, mas tão deficientes o quanto ain- da somos imperfeitos como civilização nas relações po- líticas e sociais. Há esperança! Há moti- vos para sonhar com uma ci- vilização diferente, enquanto ainda resta dentro de nossas crianças a curiosidade e es- pírito desbravador para des- cobrir um mundo novo e fan- tástico dentro da ciência. Um mundo de descobertas, um mundo de desafios e experi- mentos, onde cabe a nós in- centivar a jornada de imen- sos esforços para alcançar enxergar cada vez mais lon- ge no universo. É com orgulho que entre- gamos essa edição de outo- no, onde para muitos o fru- to do conhecimento pode estar acessível através des- sas singelas páginas, feitas com esmero e carinho, pro- porcionando bons momen- tos de leitura e aprendizado. Trazemos nessa edi- ção, além das tão espera- das agendas de lançamen- tos do trimestre e de ativida- des na ISS, um calendário de observação astronômica com alguma das efemérides mais destacadas do período, além de discutirmos sobre as novidades sobre impressão 3D, temperatura do Universo e suas curiosidades, além do sistema Trappist-1. Venha conosco!
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3 SUMÁRIO A diversidade das temperaturas no Universo A matemática sempre foi assim? O fabuloso sistema trappist-1 O mundo da impressão 3D: O processo de impressão Quão escuro é o céu Calendário de observação astronômica ..................................09 ..............................................21 ..............................................29 ....................................33 ...........................................43 .......................................................44
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8 FÍSICA Vela SNR - Remanescente de Supernova astrofotógrafo: Bruno Bonicontro fevereiro de 2022 Maringá-PR
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9 A DIVERSIDADE DAS TEMPERATURAS NO UNIVERSO FÍSICA Em nosso cotidiano lidamos com uma escala de tempe- raturas de pouco mais que duas centenas de graus Cel- sius, exemplos: - manter congelado abaixo de -16°C - pré-aquecer o forno a 150°C - a febre cedeu e a tempera- tura está em 36°C - a frente fria chega hoje a noite o que fará a tempera- tura cair para 10°C Em escala industrial, en- contramos temperaturas como -180°C (oxigênio lí- quido usado na propulsão de foguetes) ou 1300°C (fu- são do ferro fundido). Certamente, você que está lendo já vivenciou algumas destas situações. Mas fica a questão, e temperaturas muito mais altas que a fusão do ferro fundido? Ou muito mais baixas que a ebulição do oxigênio líquido? Além disso, para nós é tão corriqueiro usar a escala Cel- sius que nos parece um tan- to estranho o uso da escala Fahrenheit (ainda utilizada nos EUA e na Libéria, em con- junto com medidas como polegadas, pés e libras). Mas qual a origem destas esca- las? E quando falamos em zero absoluto, de qual escala estamos falando? E no Universo? Que valores de temperaturas encontra- mos? Como devem ser as temperaturas em planetas, estrelas e em diferentes ob- Rafael Cândido Jr. [email protected]
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10 jetos celestes como nebulo- sas e supernovas? As diferentes escalas de temperatura Medir uma temperatura é uma ação relativamente re- cente na história da huma- nidade. Uma das primeiras tentativas de avaliação de temperatura foi o termoscó- pio criado por Galileo Gali- lei, que permitia que fosse verificado de forma quali- tativa (pois o aparelho não tinha escala) o aumento ou a diminuição de temperatu- ra através do deslocamento de uma substância termo- métrica no interior de um tubo capilar. Como forma de quantifi- car a temperatura, em 1724 o médico Daniel Gabriel Fahrenheit (1686 – 1736) criou um novo tipo de apa- relho, o termômetro, que utilizava mercúrio como substância termométrica ao invés do álcool colorido no termoscópio; e também propôs uma escala baseada em dois pontos fundamen- tais. O zero da escala seria a temperatura de congela- mento de uma solução satu- rada de água, gelo e cloreto de amônia e a temperatura de 90 graus seria a de um corpo humano em repou- so. Porém estas duas balizas da escala não eram tão exa- tas pois poderiam haver di- ferenças na proporção dos constituintes da solução de cloreto de amônia e a tem- peratura de um corpo hu- mano apresenta pequenas diferenças entre as pessoas, além de variar ao longo do dia e das estações. Então foram propostas duas novas balizas, a diferença entre as temperaturas de fu- são do gelo e da ebulição da água pura, ambas na pres- são do nível do mar, foi de- finida como 180 divisões, denominadas graus (de for- ma equivalente ao ângulo raso). Fahrenheit usou este valor porque 180 apresen- ta como divisores funda- mentais 2, 3 e 5. Assim, de- finiu-se que a fusão do gelo ocorreria em 32 graus e a ebulição da água ocorreria em 212 graus. Estes valores foram escolhidos de modo que a temperatura de um ser humano com febre fosse 100 graus. O astrônomo sueco Anders Celsius (1701 – 1744) apre- sentou em 1742 a ideia de uma escala que fosse centí- grada, ou seja, o intervalo entre as duas balizas, fusão do gelo e ebulição da água Reconstrução do termoscópio de Galileo. Museus de Artes e Ofícios, Paris, França.
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11 Não existe um retrato oficial de Fahrenheit. Utilizando antigos retratos a óleo de seus parentes próximos, pesquisadores da Universidade de Gdansk, Polônia, publicaram este retrato gerado por computador em 27/11/2012. pura, tem 100 divisões. As- sim, a fusão do gelo ocorre a 0 graus centígrados e a ebu- lição da água pura ocorre a 100 graus centígrados. Após o falecimento de am- bos, suas escalas receberam seus nomes e passaram a ser denominadas graus Fahre- nheit (°F) e graus Celsius (°C). A escala absoluta Cerca de 100 anos após o de- senvolvimento das escalas Fahrenheit e Celsius, o físi- co inglês William Thomp- son (1824 – 1907), laureado posteriormente com um tí- tulo de nobreza (Lord), tor- nando-se o 1º Barão de Kel- vin, propôs uma escala de temperatura termodinâmi- ca, ou seja, que não fosse ba- lizada a partir dos pontos de fusão de gelo ou ebulição da água; mas sim definida a partir das Leis da Termodi- nâmica (que não serão ex- plicadas aqui dada sua difi- culdade, isto é assunto para outro artigo). Kelvin considerou que a temperatura é uma medi- da da energia interna de um material. Então, o zero de uma escala absoluta se- ria a situação hipotética em que a energia interna fosse nula (algo que jamais ocor- rerá porque a energia inter- na é uma soma de energia de translação, rotação e vi- bração dos átomos). Foi con- siderado também que as di- visões desta escala absoluta fossem iguais às divisões da escala Celsius. Com isso, a temperatura do zero absoluto na escala Celsius era de aproximada- mente -273°C. Esta escala de temperatura termodinâ- mica era inicialmente deno- minada de escala Celsius ab- soluta. Após a morte de Lord Kelvin em 1907, a escala foi denominada escala Kelvin e as temperaturas não são denominadas por graus. As- sim, as temperaturas de fu- são do gelo e da ebulição de água pura ao nível do mar são, respectivamente, 273 kelvins e 373 kelvins (273 K e 373 K), sem a denominação Anders Celsius. Pintura de Olof Arenius (provavelmente, 1736).
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12 grau. Desse modo, a conver- são entre as temperaturas em celsius e kelvin é uma simples soma: Em muitos casos, esta con- versão é simplificada substi- tuindo a constante somada por 273. Mas esta diferença entre as duas escalas é insig- nificante quando as tempe- raturas são muito altas. Irradiação térmica Assim que conseguiu fundir metais; a humanidade sa- bia que ao aquecer um mate- rial este apresenta uma cer- ta luminosidade. Um antigo ferreiro conhecia esta pro- priedade física com muita experiência, de modo que se estimava o quanto o ferro estava quente apenas pelo seu brilho. Esta propriedade também é encontrada nas lavas de vulcão, na qual um brilho mais intenso indica maior temperatura, e tam- bém em estrelas, onde a cor está relacionada à tempera- tura da superfície estelar. Toda substância tem tem- peratura maior que 0 K e, consequentemente, emite radiação térmica, que é ge- rada pela movimentação de partículas da matéria, a qual provoca aceleração das cargas elétricas, produ- zindo ondas eletromagnéti- cas, como a luz (emitida por um metal aquecido), raios-x (emitida por estrelas), infra- vermelho (emitida por ani- mais) e as ondas de rádio (como a radiação de fundo T kelvin = T celsius + 273,15 William Thompson (Lord Kelvin). cósmica, que vamos expli- car adiante). É importante ressaltar que a radiação não é monocro- mática, ou seja, não há emissão em apenas uma determinada frequência de onda eletromagnética. A emissão ocorre majorita- riamente em uma determi- nada faixa de frequência. Por exemplo, uma lâmina de ferro aquecida em brasa irá emitir luz, mas também infravermelho, em menor intensidade o ultravioleta e as ondas de rádio e em in- tensidade ainda menor os raios-x e raios gama. A dis- tribuição das diferentes in- tensidades de cada faixa do espectro eletromagnético revela a temperatura do ob- jeto que estamos estudan- do. Esta é uma das mais im- portantes ferramentas da Astronomia na avaliação dos corpos celestes. Para mais detalhes sobre temperaturas estelares e suas cores, leia as edições 06 e 09 da Revista AstroNova
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13 Temperaturas no Sistema Solar Se considerarmos a proxi- midade do Sol, Mercúrio deve ser o mais quente. Po- rém, a atmosfera de Mercú- rio é muito tênue, de modo que o calor recebido pela su- perfície do planeta durante a parte iluminada de seu dia não é distribuído por todo planeta. Isto faz com que a parte iluminada alcan- ce a temperatura de 420°C e na parte escura, a tempe- ratura na superfície chega a -180°C. Vênus possui uma atmosfe- ra muito densa e constituí- da majoritariamente de di- óxido de carbono (CO2), o que causa um intenso efei- to estufa no planeta. A con- sequência disso é que a tem- peratura do planeta é muito uniforme e alcança 460°C, havendo pouca diferença ao longo da superfície do pla- neta. Este é o planeta mais Espectro eletromagnético com escalas de comprimento de onda, frequência e a temperatura de corpos que emitem picos nestas frequências. Fonte: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Espectro_EM_pt.svg Noite de Vênus observada em infravermelho. Foto realizada pela sonda Akatsuki (JAXA). quente de todo o Sistema Solar.
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14 A Terra também tem um efeito estufa, que torna a temperatura média do pla- neta em 15°C. Caso esse efeito estufa não existisse, a temperatura média da Ter- ra seria aproximadamente -20°C. A maior temperatura já re- gistrada foi de 56,7°C no Vale da Morte, EUA, em 10/07/1913. Embora exis- tam outras reivindicações, algumas tem destaque ou pela ocorrência de algum fenômeno atmosférico, ou pelo alto valor da tempera- tura provavelmente alcan- çado. Em 13/09/1922 a cida- de de El Azizia, Líbia, teria alcançado a temperatura de 57,8°C. Este durante muito tempo foi considerado o re- corde de temperatura mais alta da Terra, porém hoje se sabe que faltam dados que comprovem este fato. Em Figueira da Foz, distrito de Coimbra, Portugal, no dia 06/07/1949, a estação me- teorológica local registrou um aumento súbito da tem- peratura de 38°C para 70°C, permanecendo nesta tem- peratura por 2 minutos em um fenômeno denominado pico de calor (em inglês, heat burst). Em maio de 2021, sa- télites meteorológicos de- tectaram temperaturas de 80°C no deserto de Lut, Irã, e no deserto de Sonora, Mé- xico. Atualmente, os dados destes dois registros estão sendo estudados conforme artigos publicados no Bole- tim da Sociedade Meteoroló- gica Americana. A temperatura mais fria registrada na Terra foi de -89,2°C no dia 21/07/1983 na Estação Vostok, na Antárti- ca. Esta estação foi constru- ída pela antiga União Sovi- ética no polo magnético do sul da Terra para estudos da variação do campo mag- nético global. Medições de satélite sobre a Antártica registraram em pontos iso- lados temperaturas ainda menores, sendo a mais bai- xa de -94°C. A Terra é o único planeta do Sistema Solar que apresenta as três fases da água A Terra é o único planeta do Sistema Solar que apresenta as três fases da água: sólida (geleiras), líquida (oceanos, rios e lagos) e vapor (nuvens). (Paisagem na Islândia)
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15 Internamente, a temperatu- ra da Terra no núcleo inter- no alcança 5400°C. A tem- peratura de lava e das cinzas liberadas em uma erupção vulcânica varia entre 800°C a 1200°C. Na Lua ocorre o que foi cita- do sobre Mercúrio. Sem at- mosfera, a temperatura na Lua apresenta uma grande variação. Durante o dia lu- nar a temperatura da super- fície lunar chega a 220°C e durante a noite, cai para -185°C. A região do polo sul lunar apresenta uma imen- sa cratera de impacto na qual a luz solar não alcança. A sonda Chang’e 4 pousou nesta região, denominada Bacia Aitken e a temperatu- ra ali fica em torno de -95°C. A atmosfera de Marte, assim como a de Vênus, é constitu- ída majoritariamente de di- óxido de carbono. Porém é uma atmosfera muito mais tênue, portanto, o efeito es- tufa em Marte é pouco efeti- vo. Outro fator importante é que Marte apresenta esta- ções, assim como a Terra. A temperatura na superfície de Marte varia entre -125°C e 20°C. Há inclusive a for- mação de gelo constituído de água e dióxido de carbo- no na superfície. A partir de Marte, tem-se os planetas gasosos, ou seja, não possuem superfície. Então as temperaturas são diferentes conforme a pro- fundidade na atmosfera. Na camada mais exterior de suas atmosferas, tem-se as seguintes temperaturas mé- dias: -110°C (Júpiter), -140°C (Saturno), -220°C (Urano) e -240°C (Netuno). Porém, a temperatura de seus núcle- os, é estimada em até deze- nas de milhares de graus Celsius. Os satélites dos gigantes ga- sosos sofrem efeito de maré, ou seja, a gravidade dos pla- netas que orbitam provoca um “puxão” em seus núcle- os, de modo que estes são aquecidos pelo efeito da gravidade, tornando-se lí- quidos. O satélite Io, orbitando em torno de Jupiter, é o lugar no sistema Solar com a maior atividade vulcânica, supe- rando a Terra. A tempera- tura média na superfície de Io é -130°C e a lava expe- lida de seus vulcões chega a 1650°C. Assim, além de uma atmosfera muito fina Gelo no solo de Marte. Foto da sonda Phoenix (Nasa, 2008). Detalhes da superfície de Io. Foto da sonda Galileo (Nasa)
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16 devido aos gases expelidos pela atividade vulcânica, Io apresenta em sua paisagem campos de “neve” de dióxi- do de enxofre. Europa é o menor dos qua- tro maiores satélites de Jú- piter. A temperatura em sua superfície na região equa- fície de Encélado é refletida de volta ao espaço. Isso tor- na a superfície deste satélite uma das mais frias do Siste- ma Solar, com temperatura abaixo de -200°C. Plutão, assim como outros objetos transnetunianos, apresenta temperaturas muito baixas em suas su- perfícies. Conforme a sonda New Horizons, a temperatu- ra da superfície de Plutão varia entre -210°C e -230°C. Os cometas, quando distan- tes do Sol, apresentam tem- peratura média de -250°C. Quando no periélio, a tem- peratura na superfície do núcleo pode alcançar entre -50°C e -30°C. Por fim, o Sol tem uma temperatura de superfície de 6000°C e a temperatu- ra do núcleo estimada em 15.000.000°C. Para estas tem- peraturas tão altas, a unida- de mais utilizada é o kelvin (K). Assim, a temperatura da superfície do Sol é de aproxi- madamente 5730 K e a tem- Núcleo do cometa Tempel registrado pela sonda Deep Impact em 2005. (Nasa) A superfície de Encélado tem a maior refletância do Sistema Solar. Foto da sonda Cassini (Nasa) torial é sempre abaixo de -160°C. Nos polos, a tempe- ratura nunca é maior que -220°C. Nestas condições, a capa de gelo de Europa é dura como uma rocha de granito. Titã, satélite de Saturno, é o único satélite do Sistema Solar com atmosfera, ha- vendo inclusive um ciclo de hidrocarbonetos leves (me- tano e etano) equivalente ao ciclo da água da Terra. A pressão em sua superfí- cie é de 1,5 atm e a tempe- ratura é, em média, -180°C, o que torna metano e etano líquidos e a água, ejetada de criovulcões, nas mesmas condições encontradas em Europa, com a dureza equi- valente de uma rocha. Encélado, também uma das luas de Saturno, tem a superfície totalmente en- coberta de gelo de água e amônia. Assim, o albedo, também denominado refle- tância, do satélite é de 0,99; ou seja, 99% da energia lu- minosa que alcança a super-
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17 peratura do núcleo é de 15 milhões de kelvins (ou seja, uma diferença de 273 em 15 milhões é irrisória). Temperaturas além do Sistema Solar Como visto em outros arti- gos anteriormente publi- cados, as cores das estrelas estão relacionadas à sua temperatura de superfície. As estrelas vermelhas tem temperatura de superfície entre 3000 a 4000 K e as es- trelas azuis alcançam a tem- peratura de 20000 K. A estrela WR 102 na conste- lação de Sagitário é a estrela com maior temperatura de superfície atualmente co- nhecida, 210.000 K. É uma estrela muito rara, havendo apenas 4 estrelas do seu tipo na Via Láctea. Foi calculado que a WR 102 pode se tornar uma supernova nos próxi- mos 1500 anos, pois esta já se encontra no fim do está- gio de fusão do hélio. As estrelas mais massivas passam pelo evento de su- pernova. Quando isto ocor- re, a temperatura alcança- da no núcleo estelar alcança impressionantes 10 trilhões de kelvins em um tempo de alguns picossegundos. Para se entender o tempo de 1 picossegundo, imagine o tempo de 100 anos. Agora imagine o que seria o tem- po de aproximadamente 3 milissegundos em 100 anos (1 picossegundo está para 1 segundo como 3 milisse- gundos está para 100 anos). Mas, o Universo não tem apenas estruturas cósmicas com temperaturas tão altas. A Nebulosa do Bumeran- gue, na constelação do Cen- tauro, a 5000 anos-luz da Terra tem a temperatura de apenas 1 K (ou seja, -272°C). É o único objeto astronômi- co conhecido até o momen- to que tem uma tempera- tura inferior à da radiação cósmica de fundo. A radiação cósmica de fun- do é uma radiação eletro- magnética com intensidade máxima na faixa de micro- -ondas. Foi descoberta pelos físicos Arno Penzias e Ro- bert Wilson em 1965 ao ve- rificar que a antena que es- tavam testando para a Bell Labs apresentava um ruído que não conseguiam elimi- Estrela WR 102 observada no infravermelho. Ventos solares intensos e a forte radiação ultravioleta formam os complexos arcos de gás ionizado. (WISE/NASA).
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18 nar, mesmo depois de remo- ver todas as possíveis fontes de ruído. Ao verificarem que a fonte deste ruído era de origem cósmica, verificaram que ela não provinha de uma única fonte, mas sim que permeava praticamente todo o céu, noturno e diur- no. Então isto comprovou uma hipótese levantada pe- los físicos George Gamov, Ralph Alpher e Robert Her- man, de que se o Big Bang tivesse acontecido, have- ria uma radiação residu- al. Como esta radiação tem pico em 160,4 GHz, tem-se que a temperatura do Uni- verso é de 2,725 K. Mas, seria possível estimar a maior temperatura do Uni- verso? Para isso, temos que entrar em conceitos um tan- to complexos, que envolvem a Teoria da Relatividade e a Física de partículas como os quarks. A partir de um de- terminado valor de tempe- ratura, até mesmo as par- tículas constituintes do núcleo atômico seriam “va- porizadas”, fazendo com que os quarks fossem isola- dos, mas como estes não po- dem existir isoladamente, haveria criação de outros quarks a partir da energia, ou seja, energia se transfor- maria em matéria tal qual predito na equação de Eins- tein (a famosa E = mc2). En- tão, a maior temperatura do Universo foi a temperatura em que ocorreu o Big Bang, quando toda a matéria do Universo estava concentra- da num ponto e quando to- das as quatro forças funda- mentais eram apenas uma. Com isso, define-se uma tem- peratura denominada limi- te de Planck, na qual o com- primento de onda emitido pela matéria seria o compri- mento de Planck (1,616-10- 35 m). Esta temperatura tem valor de 1,42-1032 K. Com as teorias atuais que temos so- bre as partículas e as forças fundamentais, este é o va- lor máximo de temperatura que se consegue estimar no Universo, a qual foi alcan- çada uma única vez, no Big Bang. Nebulosa do Bumerangue (Telescópio Espacial Hubble, 2003) Rafael Cândido Jr. é graduado e mestre em Engenharia Química (USP) e doutorando em Engenharia Aeroespacial. Integra o grupo de astronomia Arcturus, da UFABC. Link para saber mais: https://youtu.be/6EBCulC8Klo
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19 Aberto para todos os públicos o projeto Céu Aberto é uma iniciativa do Professor Cássio Barbosa (Astrônomo do FEI) e do Canal Giro Astronômico (divulgação científica para YouTube e redes sociais). O oO objetivo é levar os registros feitos pelo Observatório S-PLUS, telescópio no Chile, para serem processados pela comunidade em imagens que serão exibidas para votação. A intenção é reunir belíssimas imagens de objetos de céu profundo, processadas e eleitas pelo público, para a composição de um livro, com descrições detalhadas por profissionais da astronomia. www.ceuaberto.space SAIBA MAIS SOBRE O PROJETO E PARTICIPE EM: O S-PLUS é uma colaboralçao internacional, fundada pela Universidade de São Paulo, Observatório Nacional, Universidade Federal de Sergipe, Universidade de La Serena e Universidade Federal de Santa Catarina
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20 astrofotógrafo: Breno Silva @breno_silvaxx
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21 A matemática é uma lingua- gem universal, usada por toda a humanidade, direta ou indiretamente. Todos te- mos contato com a matemá- tica em nossas vidas. Porém, nem sempre a matemática foi como conhecemos hoje, como todos os símbolos e formalidades que estamos acostumados. Os símbolos que regem a lin- guagem matemática estão Maico Zorzan [email protected] articulados diretamente com seus significados como ocorre na linguagem ideo- gráfica, como ocorre com as línguas que povoam nos- so planeta. A compreensão da matemática leva a com- preender que a mesma tem linguagem própria, como se falássemos, lêssemos e co- municássemo-nos em uma língua própria. No entan- to, não há um conjunto que forma a linguagem mate- mática como os fonemas da língua materna do leitor, as- sim como não há uma orali- dade própria, mas somente a escrita capaz de expressar a necessidade da demanda do problema, com o rigor que a ciência exige. Os símbolos matemáticos nem sempre existiram e fo- ram utilizados como são hoje, estes símbolos sofre- ram muitas transformações com o passar dos séculos, e um dos maiores contribuin- tes para o rigor hoje utiliza- do foi Leonhard Euler. Nas- cido na Basiléia, o suíço Euler, tornou-se membro da Uma breve história da simbologia matemática, Uma breve história da simbologia matemática, da pré-história até o cálculo.da pré-história até o cálculo. A MATEMÁTICA A MATEMÁTICA SEMPRE FOI ASSIM?SEMPRE FOI ASSIM?